Old revision

--- parent: Theorems title: 定理集2 date: 2018-12-12 tags: 行列, 定理 --- # ランクが1 $rank(A)=1$のとき, $A^2=\alpha A$を満たすスカラ$\alpha$はただ一つ存在する. $\alpha \neq 1$ならば, $I-A$は正則である. ---------------------------------------------------------------------------- $rank(A)=1$より, $A=ab^H$ ```math $$ \begin{split} A^2 &= (ab^H)(ab^H) \\ &= (b^H a)ab^H \\ &= \alpha A \quad(\alpha=(b^H a)とおく) \end{split} $$ ``` # $\alpha$の一意性について $A^2=\beta A$が存在するとする.($\alpha \neq \beta$) ```math $$ \begin{split} \alpha A &= \beta A \\ (\alpha - \beta)A &= 0 \\ \alpha &= \beta \quad (A \neq 0 より(rank A = 1より)) \end{split} $$ ``` これは, $\alpha \neq \beta$に反す. よって, $\beta$なし. $\alpha$は一意 # $\alpha \neq 1$ならば... $I-A$が正則でないとする. ```math $$ \begin{split} (I-A)x &= 0 \quad(x \neq 0) \\ Ax &= x \quad(x \neq 0 より) \end{split} $$ ``` ```math $$ \begin{split} x &= Ax \\ &= AAx \\ &= A^2 x \\ &= \alpha Ax \\ (\alpha - 1)x &= 0 \\ \alpha &= 1 \quad(x \neq 0より) \end{split} $$ ``` ```math $$ \begin{split} \lnot (I-Aが正則) &\to \alpha=1 \\ \alpha \neq 1 &\to I-Aが正則 \end{split} $$ ``` [ランクの定義8つ(引用) ^[rank-url]] ================= # $A$の正則(行列式が0でない)な小行列でサイズが最大なもののサイズ. ex) ```math $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{array}\right) $$ ``` について, 2x2の部分行列の1つ$\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right)$ は正則であるが, 3x3は非正則. よって, $rank(A)=2$ # $A$の一次独立な行ベクトルの最大本数 # $A$の一次独立な列ベクトルの最大本数 # 階段系にした時に0でない成分が残る行 ```math $$ \left(\begin{array}{cccccc} 1 & * & \ldots & & & \Huge{*} \\ & & 1 & * & \ldots & \\ & & & 1 & * & \ldots \\ \Huge{0} & & & & & \end{array}\right) $$ ``` # ランク標準形にした時に1が並ぶ数 $A$に$ST$ $SAT=\left(\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ # $dim(Im(A))=rank(A)$ # $A$の0でない特異値の数($AA^Tの0でない固有値の数) # 以下の条件を満たす最小の$r$ $2r$本の縦ベクトルが存在して$u_1, u_2, \cdots , u_r, v_1, v_2, \cdots , v_r$ $A=\sum_{k=1}^r u_k v_k^T$ と書ける. ================= [行列の正則性5つ(引用) ^[seisoku-url]] =================================== # $AB=BA=I$となる行列$B$が存在する # $det(A) \neq 0$ $AB=I$のとき ```math $$ \begin{split} |AB| &= I \\ &= 1 \\ |AB| &= |A||B| \end{split} $$ ``` よって, $|A| \neq 0$ # $rank(A)=n$ 行列式が0でない$S, T$ ```math $$ \begin{split} SAT=\left(\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \\ |SAT| &= \left|\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| \\ |S||A||T| &= \left|\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| \end{split} $$ ``` $|A| \neq 0$より, $rank(A) = n$ $rank(A)=n$より, $|A| \neq 0$ # $Ker(A) = \{0\}$ $rank(A)=n-dim(Ker(A))$ (次元定理) $rank(A)=n$のとき, $dim(Ker(A)=0$ # 全ての$A$の固有値が0でない $A$の固有値$\lambda_1, \cdots, \lambda_n$とすると, $det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n$ $det(A) \neq 0$のとき, $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$で0はない. =================================== # $AB$と$BA$の固有値 $A,B(n \times n)$のとき, $AB$と$BA$は同一の固有値を持つ. ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} ABx &= \lambda x \quad (x \neq 0) \\ BABx &= \lambda Bx \\ BAy &= \lambda y \end{split} $$ ``` # 交代行列の固有値 交代行列$(A^H = -A)or(A^T = -A)$の固有値は0あるいは, 純虚数である. ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} Ax &= \lambda x \\ x^H Ax &= \lambda x^H x \\ &= \lambda \quad(x^H x=1) \end{split} $$ ``` 両辺にエルミート共役をとって, ```math $$ \begin{split} (x^H Ax)^H &= (\lambda)^H \\ x^H A^H x &= \overline{\lambda} \\ -x^H Ax &= \overline{\lambda} \end{split} $$ ``` よって, ```math $$ \lambda = - \overline{\lambda} $$ ``` よって, $\lambda$は純虚数. 実行列の場合は, 固有値0 [純虚数] ======= ```math $$ \begin{split} a + bi &= -(a - bi) \\ &= -a + bi \\ a &= 0 \end{split} $$ ``` ======= # 実行列の対称化 実行列$A$が対称でなくても, 2次形式で$x^TAx$で$A$を対称行列$(A + A^T)/2$に置き換えても, その値は変わらない. ---------------------------------------------------------------------------- $x^TAx=\alpha$とする. ```math $$ \left\{\begin{array}{l} (x^T Ax)^T = x^T A^T x \\ (x^T Ax)^T = \alpha \end{array}\right. $$ ``` より, $x^T A^T x = \alpha$ ```math $$ \begin{split} x^TAx + x^T A^T x &= 2\alpha \\ x^T(A+A^T)x &= 2\alpha \\ x^T(\frac{A+A^T}{2})x &= \alpha \end{split} $$ ``` # 対称行列の対角化 $A$が対称行列ならば, 直交行列$P$で対角化可能 $P^{-1}AP=\Sigma, A=P\Sigma P^{-1}$とおける. このとき, 2次形式は直交変換$y=P^Tx$によって, 次の書き換え可能. ```math $$x^TAx = x^T(P\Sigma P^T)x = x^TP\Sigma P^T x = y^T \Sigma y= \sum_i \lambda_i y_i^2$$ ``` $A$が対称行列のとき固有値はすべて実数. ```math $$Aが正定 \equiv x^TAx>0 \equiv \lambda_i>0$$ ``` ---------------------------------------------------------------------------- # エルミート行列の対角化 $A$がエルミート行列ならば, ユニタリ行列$U$で対角化可能 $A=U\Sigma U^{H}$とおける. このとき, 2次形式は直交変換$y=U^Hx$によって, 次の書き換え可能. $\lambda_i$は実数($A$がエルミート行列より). ```math $$x^HAx = x^H(U\Sigma U^H)x = y^H \Sigma y= \sum_i \lambda_i |y_i|^2$$ ``` ---------------------------------------------------------------------------- # 二次形式 $x^H x = c$とする. 二次形式$x^H A x$について. ```math $$ \lambda_min(A) \leq \frac{x^H A x}{c} \leq \lambda_max(A) $$ ``` ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} f &= x^H A x \\ &= \sum_i \lambda_i |y_i|^2 \quad (y=U^H x) \\ &= \lambda_1 |y_1|^2 + \lambda_2 |y_2|^2 + \cdots + \lambda_n |y_n|^2 \end{split} $$ ``` ```math $$ \begin{split} y^H y &= \left(\begin{array}{cccc}\overline{y_1} & \overline{y_2} & \cdots & \overline{y_n}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \\ &= (U^H x)^H U^H x \\ &= x^H U U^H x \\ &= x^H x \\ &= c \quad(x^H x = c) \end{split} $$ ``` $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$とすると, ```math $$ \begin{split} f-c\lambda_1 &= \lambda_1 |y_1|^2 + \lambda_2 |y_2|^2 + \cdots + \lambda_n |y_n|^2 - \lambda_1(|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2) \\ &= (\lambda_2 - \lambda_1)|y_2|^2 + \cdots + (\lambda_n - \lambda_1)|y_n|^2 \\ &\geq 0 \quad((\lambda_2 - \lambda_1), (\lambda_n - \lambda_1) \geq 0より) \end{split} $$ ``` ```math $$ \begin{split} f-c\lambda_n &= (\lambda_1 - \lambda_n)|y_1|^2 + (\lambda_2 - \lambda_n)|y_2|^2 + \cdots + (\lambda_{n-1} - \lambda_n)|y_{n-1}|^2 \\ &\leq 0 \end{split} $$ ``` # 準対称正定行列 $A:(n \times n)$, $B: (n \times n)$が準対称正定行列 (1) $\lambda_{min}(A) \lambda_{max}(B) \leq \lambda_{min}(A) trB$ (2) $\lambda_{min}(A) trB \leq tr(AB) \leq \lambda_{max}(A) trB$ ---------------------------------------------------------------------------- (1) $$trB = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$$ $$\lambda_1 \cdots \lambda_n \geq 0 \quad (準正定行列)$$ $$\lambda_{max} \leq trB$$ (2) $A$は対称行列より, $A=P\Sigma P^T$ ($P$は直交行列) $$tr(AB)=tr(P\Sigma P^T B) = tr(\Sigma P^T B P)$$ $P=(x_1 \cdots x_n)$とすると, ($P^TBP$の$i,j$要素を$x_i^T B x_j$とする.) ```math $$ \begin{split} tr\left(\left(\begin{array}{ccc} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array}\right)(x_i^T B x_j)\right) &= \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^T B x_i \\ &= \lambda_1 x_1^T B x_1 + \lambda_2 x_2^T B x_2 + \cdots + \lambda_n x_n^T B x_n \end{split} $$ ``` $x_i^T B x_i \geq 0$なので, ($B$は準正定) ```math $$ \begin{split} \sum_{i=1}^n \lambda_{min} x_i^T B x_i &\leq tr(AB) &\leq \sum_{i=1}^n \lambda_{max}x_i^T B x_i \\ \lambda_{min} trB &\leq tr(AB) &\leq \lambda_{max} trB \end{split} $$ ``` [::NOTE] ======== $\sum_{i=1}^n x_i^T B x_i$は, $P^T BP$の対角成分の和. ```math $$ \begin{split} x_1^T B x_1 + x_2^T B x_2 + \cdots + x_n^T B x_n &= tr\left(\left(\begin{array}{c} x_1^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{array}\right)B(\begin{array}{ccc}x_1 & \cdots & x_n\end{array})\right) \\ &= tr(P^T B P) \\ &= tr(B P P^T) \\ &= trB \end{split} $$ ``` ======== -------------------------------------------------------------------------------- [rank-url]: [高校数学の美しい物語. 行列のランクの意味（８通りの同値な定義）(accessed: 2018/12/13)](https://mathtrain.jp/matrixrank) [seisoku-url]: [高校数学の美しい物語. 行列が正則であることの同値な条件と証明 (accessed: 2018/12/13)](https://mathtrain.jp/seisokumatrix)